Question

4．已知a＞0，b≥0，c≥0且$\left\{\begin{array}{l}{b+2c≥2a}\\{b+4c≤4a}\\{b-c≤2a}\end{array}\right.$，则$\frac{c+a}{b+a}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 利用消参法将不等式进行转化，利用换元法转化为关于x，y的二元一次不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}+\frac{2c}{a}≥2}\\{\frac{b}{a}+\frac{4c}{a}≤4}\\{\frac{b}{a}-\frac{c}{a}≤2}\end{array}\right.$，$\frac{c+a}{b+a}$=$\frac{\frac{c}{a}+1}{\frac{b}{a}+1}$，
设$\frac{b}{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，则x≥0，y≥0，
则不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{x+2y≥2}\\{x+4y≤4}\\{x-y≤2}\end{array}\right.$，目标函数等价为$\frac{y+1}{x+1}$，
作出不等式组对应的平面区域如图
则$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是区域内的点到点D（-1，-1）的斜率，
由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，1），B（2，0），
则$\frac{y+1}{x+1}$的最大值为$\frac{1+1}{0+1}=2$，最小值为$\frac{0+1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{c+a}{b+a}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，2]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用消参法和换元法转化为二元一次不等式组，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．综合性较强．