Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，PA=$\sqrt{2}$，AD=1，BC=2，CD=$\sqrt{3}$，M，N分别为AB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）取CD的中点E，连结ME，NE，可证面MEN∥平面PAD，CD⊥平面PAD，故而CD⊥平面MEN，得出MN⊥CD，通过计算得出PM=CM=$\sqrt{3}$，故而MN⊥PC，于是MN⊥平面PCD；
（II）连结AC，可证CM⊥平面PAB，于是∠CPM就是PC与平面PAB所成的角，利用PM=CM即可得出线面角的度数．

解答 证明：（I）取CD的中点E，连结ME，NE．
∵M，N，E分别是AB，PC，CD的中点，
则NE∥PD，ME∥AD，
∴平面MEN∥平面PAD．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥面MEN，∵MN?平面MEN，
∴MN⊥CD．
取BC中点F，连结AF，则四边形AFCD是矩形，
∴AF=CD=$\sqrt{3}$，BF=$\frac{1}{2}$BC=1，∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2，AM=$\frac{1}{2}AB$=1．
∴PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
又ME=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{3}{2}$，CE=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴MC=$\sqrt{M{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴PM=MC，又N是PC中点
∴MN⊥PC，
又PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴MN⊥面PCD．
（II）连结AC，则AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∴AC=BC，∵M是AB中点，
∴CM⊥AB．
又PA⊥面ABCD，CM?平面ABCD，
∴PA⊥CM．
又AB?平面PAB，PA?平面PAB，PA∩AB=A，
∴CM⊥面PAB
∴∠CPM就是PC与平面PAB所成的角．
由（1）知PM=MC，
∴∠CPM=45°
所以PC与平面PAB所成的角为45°．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．