Question

13．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x}-1$，其中a为参数，
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，定义域为（0，+∞），
令f'（x）=0，得x=1，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；…（5分）
（Ⅱ）依题意得 $f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，x∈[1，e]…（6分）
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以，f（x）在区间[1，e]上 的最小值为f（1）=a-1，…（7分）
当a＞0时，令f'（x）=0，则x=a，
①若a≥e，则f'（x）＜0对x∈[1，e]成立，则f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为$f（e）=\frac{a}{e}$，…（8分）
②若1＜a＜e，则有

x	（1，a）	a	（a，e）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（a）=lna，…（10分）
③若a≤1，则f'（x）＞0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（1）=a-1，…（11分）
综上得：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-1，a≤1\\ f（a）=lna，1＜a＜e\\ f（e）=\frac{a}{e}，a≥e\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．