Question

18．已知函数f（x）=kxlnx（k≠0）有极小值-$\frac{1}{e}$．
（1）求实数k的值；
（2）设实数a，b满足0＜a＜b．
①计算：${∫}_{a}^{b}$|lnx-ln$\frac{a+b}{2}}$|dx；
②记①中计算结果G（a，b），求证：$\frac{1}{b-a}$G（a，b）＜ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的符号，求出函数的单调区间，结合函数有极小值$-\frac{1}{e}$，求出k的值即可；
（2）①表示出|lnx-ln$\frac{a+b}{2}$|的分段形式，求出其在[a，b]上的积分即可；②问题转化为证明ln$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{a}$ln$\frac{b}{a+b}$＜-2ln2成立，令t=$\frac{b}{a}$＞1，构造函数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=k（lnx+1），
k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{k}{e}$=-$\frac{1}{e}$，解得：k=1，
k＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
∴x=$\frac{1}{e}$是极大值点，不合题意，
故k=1；
（2）①∵（xlnx）′=1+lnx，
∵0＜a＜b，∴|lnx-ln$\frac{a+b}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ln\frac{a+b}{2}，x＞\frac{a+b}{2}}\\{ln\frac{a+b}{2}-lnx，0＜x＜\frac{a+b}{2}}\end{array}\right.$，
∴：${∫}_{a}^{b}$|lnx-ln$\frac{a+b}{2}}$|dx
=${∫}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$（ln$\frac{a+b}{2}$-lnx）dx+${∫}_{\frac{a+b}{2}}^{b}$（lnx-ln$\frac{a+b}{2}$）dx
=（1+ln$\frac{a+b}{2}$）${|}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$-（xlnx）${|}_{a}^{\frac{a+b}{2}}$+（xlnx）${|}_{\frac{a+b}{2}}^{b}$-（1+ln$\frac{a+b}{2}$）${|}_{\frac{a+b}{2}}^{b}$
=blnb-$\frac{a+b}{2}$ln$\frac{a+b}{2}$-$\frac{a+b}{2}$ln$\frac{a+b}{2}$+alna
=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$，
②由①知：G（a，b）=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$，
∵0＜a＜b，
∴要证$\frac{1}{b-a}G（{a，b}）＜ln2$成立，
只需证明alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2成立，
只需证明alna+blnb-（a+b）ln（a+b）＜-2aln2成立，
只需证明ln$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{a}$ln$\frac{b}{a+b}$＜-2ln2成立，
只需证明ln$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}$+$\frac{b}{a}$ln$\frac{\frac{b}{a}}{1+\frac{b}{a}}$＜-2ln2成立，
令t=$\frac{b}{a}$＞1，
只需证明ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2（t＞1）成立，
设g（t）=ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2（t＞1），
则g′（t）=-$\frac{1}{1+t}$=lnt-ln（1+t）+1-$\frac{1}{1+t}$=lnt-ln（1+t）＜0在t＞1恒成立，
∴g（t）在（1，+∞）递减，
∴g（t）＜g（1）=ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1}{2}$=-2ln2，
即ln$\frac{1}{1+t}$+tln$\frac{t}{1+t}$＜-2ln2，
故$\frac{1}{b-a}G（{a，b}）＜ln2$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，函数恒成立问题，考查定积分知识以及不等式的证明，是一道综合题．