Question

11．已知点A（2，0），点B（-2，0），直线l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），若直线l与线段AB有公共点，则λ的取值范围是（　　）

• A． [-1，3）
• B． （-1，1）∪（1，3）
• C． [-1，1）∪（1，3]
• D． [-1，3]

Answer 1

分析 求出直线l恒过定点，求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围；

解答 解：由题意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），
则λ（x+y-4）+（3x-y）=0，
∵λ∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线l所过定点（1，3）；
∵点A（2，0），点B（-2，0），设直线l所过定点为：p，则P的坐标（1，3）；
∴k_PA=$\frac{3-0}{1-2}$=-3，k_PB=$\frac{3-0}{1-（-2）}$=1，
∵直线l与线段AB有公共点，
当λ=1时，直线x=1，与线段AB有公共点，
当λ≠1时，直线l的斜率k=$\frac{λ+3}{1-λ}$，
∴$\frac{λ+3}{1-λ}$≥1或 $\frac{λ+3}{1-λ}$≤-3，
解的-1≤λ＜1，或1＜λ≤3，
综上所述：λ的取值范围为[-1，3]，
故选：D．

点评 本题考查直线恒过定点，直线的斜率的范围是解得本题的关键，属于中档题．