Question

1．如图，AB是抛物线y²=2px（p＞0）的一条经过焦点F的弦，AB与两坐标轴不垂直，已知点M（-1，0），∠AMF=∠BMF，则p的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由题意画出图象作AC⊥x轴、BD⊥x轴，设AB的直线方程y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线方程和抛物线方程消去y，由韦达定理求出x₁+x₂和x₁x₂式子，由∠AMF=∠BMF得tan∠AMF=tan∠BMF，由图象得$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$，用A、B的坐标表示出线段的长，把求出的式子代入化简，列出关于p的方程再化简求值．

解答 解：如右图作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
设AB的直线方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}p+2p）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，
则x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∵∠AMF=∠BMF，∴tan∠AMF=tan∠BMF，
即$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$，
不妨设x₁＞$\frac{p}{2}$，x₂＜$\frac{p}{2}$，
则AC=|y₁|=|k（x₁-$\frac{p}{2}$）|=|k|（x₁-$\frac{p}{2}$），BD=|y₂|=|k（x₂-$\frac{p}{2}$）|=|k|（$\frac{p}{2}$-x₂），
且MC=x₁+1，MD=x₂+1，
代入$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$得，$\frac{|k|（{x}_{1}-\frac{p}{2}）}{{x}_{1}+1}=\frac{|k|（\frac{p}{2}-{x}_{2}）}{{x}_{2}+1}$，
化简得，2x₁x₂+（x₁+x₂）（1-$\frac{p}{2}$）-p=0，
则2×$\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}（1-\frac{p}{2}）-p=0$，化简得$\frac{2-p}{{k}^{2}}=0$，得p=2．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，一元二次方程的根与系数的关系，考查化简计算能力，是中档题．