Question

11．已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为[1，e]．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数，求出a的最小值；求出g（x）的导数，问题转化为a≤[e^x]_min在区间（1，+∞）上成立，求出a的范围，取交集即可．

解答 解：∵f（x）=ax-lnx，（x＞0），
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若f（x）在（1，+∞）上无最小值，
则f（x）在（1，+∞）单调，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$，或a≤$\frac{1}{x}$，而函数y=$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调减，
∴x=1时，函数y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a为正实数，
故a≥1①，
又∵g（x）=e^x-ax，
∴g′（x）=e^x-a，
∵函数g（x）=e^x-ax在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g′（x）=e^x-a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[e^x]_min在区间（1，+∞）上成立．
而e^x＞e，
∴a≤e②；
综合①②，a∈[1，e]，
故答案为：[1，e]．

点评 正确把问题等价转化、熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．