Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的
单调区间；
（2）若对?x∈（0，+∞），都有f′（x）≤（$\frac{x+1}{x}$）²恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）记g（x）=f（x）+x-b，当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，再求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求出a的值，从而可得函数y=f（x）的单调区间；
（2）问题转化为a≤x+$\frac{3}{x}$+2在（0，+∞）上恒成立，根据基本不等式的性质，求出a的范围即可；
（3）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到关于b的不等式组，解出实数b的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，
∴f′（1）=-2+a，
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函数y=f（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
（2）由题意得x∈（0，+∞），都有-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$≤${（\frac{x+1}{x}）}^{2}$恒成立，
即a≤x+$\frac{3}{x}$+2在（0，+∞）上恒成立，∵x＞0，
∴≥2$\sqrt{3}$+2，（当且仅当x=$\sqrt{3}$时取“=”），
∴a≤2$\sqrt{3}$+2，∵a＞0，
∴a∈（0，2$\sqrt{3}$+2]；
（3）依题意得g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b，（x＞0），
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{g{（e}^{-1}）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2e+\frac{1}{e}-3-b≥0}\\{1-b＜0}\\{\frac{2}{e}+e-1-b≥0}\end{array}\right.$，解得1＜b≤$\frac{2}{e}$+e-1，
所以b的取值范围是（1，$\frac{2}{e}$+e-1]．

点评 本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于综合题．