Question

1．若log₂（2m+n）=2log₂$\sqrt{2mn}$-1，则m+n的取值范围为（　　）

• A． [6，+∞）
• B． [3+2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，3+2$\sqrt{2}$]
• D． [3+$\sqrt{2}$，6）

Answer 1

分析 根据题意，求出m、n的取值范围，并用n表示出m，求出m+n的表达式，
再利用基本不等式即可求出m+n的取值范围．

解答 解：∵log₂（2m+n）=2log₂$\sqrt{2mn}$-1，
∴log₂（2m+n）=log₂（2mn）-log₂2，
∴log₂（2m+n）=log₂（mn），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n＞0}\\{mn＞0}\\{2m+n=mn}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{n=\frac{2m}{m-1}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{n＞0}\\{n=\frac{2m}{m-1}}\end{array}\right.$；
∴m+n=m+$\frac{2m}{m-1}$=m+2+$\frac{2}{m-1}$=（m-1）+$\frac{2}{m-1}$+3≥2$\sqrt{2}$+3，
当且仅当m-1=$\sqrt{2}$，即m=1+$\sqrt{2}$时取“=”，
∴m+n的取值范围是[3+2$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．