Question

已知函数f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线与直线x+y+2=0互相垂直，求a的值；
（2）若a≥1，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f'（x），求出f′(

π

2

)的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值．
（2）根据导函数f′（x）＞0和f′（x）＜0求出x的范围，从而得到f（x）的单调区间，从而得出函数在[0，e]上的最大值；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

解答：解：（1）∵x≥1时，f(x)=alnx

，

∴f/(x)=

a

x

，
由已知得f/(2)=1， ∴

a

2

=1．
a=2…（3分）
（2）因为f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

，
①当0≤x≤1时，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到0＜x＜

2

3

；解f'（x）＜0得到

2

3

＜x＜1．
所以f（x）在(

2

3

，1)上单调递减，在(0，

2

3

)上单调递增，
从而f（x）在x=

2

3

处取得极大值也是最大值f(

2

3

)=

4

27

． 所以f（x）在[0，1）上的最大值为

4

27

．…（6分）
②当1≤x≤e时，f'（x）=alnx，因a≥1，所以f（x）在[1，e]上单调递增，
从而f（x）在[1，e]处取得极大值也是最大值f（e）=a，
因为a＞

4

27

，所以，若a≥1，f（x）在[0，e]上的最大值为a．…（9分）．
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以

OP

•

OQ

=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程无实数解．
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：

1

a

=（t+1）lnt，（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h'（x）=lnx+

1

x

+1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程

1

a

=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，还考查导数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，解答关键是利用导数求闭区间上函数的最值．