Question

椭圆C： 左右焦，若椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是 _______

Answer 1

（，）∪（，1）

试题分析：分两种情况：第一种情况，当点P与短轴的顶点重合时，△F₁F₂P构成以F₁F₂为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F₁F₂P；第二种情况，当△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形时，以F₂P作为等腰三角形的底边为例，∵F₁F₂=F₁P，∴点P在以F₁为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以F₁为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e，当e=时，△F₁F₂P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠，同理，当F₁P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P这样，又因为椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，故第一种情况不成立，综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）．