Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，g（x）=f（x）+2x，g（x）＞0 的解集为（1，3）．
（1）求g（1），f（1），g（3），f（3）的值；
（2）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式f（x）+2＞0．

Answer 1

分析：（1）根据不等式g（x）＞0 的解集为（1，3），建立方程关系，然后分别求值即可．
（2）根据方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用判别式△=0，解a即可．
（3）利用元二次不等式的解法求不等式．

解答：解：（1）因为，g（x）＞0 的解集为（1，3），所以a＜0且1，3是方程g（x）=0的两个根，
即g（1）=0，g（3）=0．
所以f（1）+2=0，解得f（1）=-2．由g（3）=0得f（3）+6=0，解得f（3）=-6．
（2）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x）+6a=0得ax²+bx+c+6a=0，
则△=0，即b²-4a（c+6a）=0，①
因为f（1）=-2，f（3）=-6，
所以a+b+c=-2，②9a+3b+c=-6③
由①②③得a=1（舍去），或a=-

1

5

，
所以b=-

6

5

，c=-

3

5

，所以f（x）=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

＞0．
（3）f（x）+2＞0得-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

+2＞0，即x²+6x-7＜0，
解得-7＜x＜1，即不等式的解集为（-7，1）．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法，要求熟练掌握二次函数，二次方程和二次不等式的关系．