Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值．
（Ⅱ）令，若g（x）＜a-2对于恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期 T==π．由于-1≤sin（2x+）≤1，∴1-≤f（x）≤+1，
故f（x）的最小值是 1-．
（Ⅱ）由题意可得 =sin[2（x+）+]+1-1=cos2x，
∵-≤x≤，∴-≤2x≤，故当x=0时，cos2x 有最大值为，
故＜a-2，∴a＞2+，
故实数a的取值范围是（ 2+，+∞）．
分析：（Ⅰ）化简f（x）的解析式为 sin（2x+）+1，故f（x）的最小正周期 T=，根据正弦函数的值域求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由题意求得g（x）=cos2x，根据x的范围求得 2x的范围，由此求得g（x）=cos2x 的最大值，
根据题意可得 ＜a-2，从而求得实数a的取值范围．
点评：本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性以及三角函数的最值，函数的恒成立问题，求出g（x）的解析式是解题的关键．