Question

18．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞），当x∈（0，+∞）时值域是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞），当x∈（1，+∞）是值域是（0，+∞）．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{（2x+1）^{2}-4（2x+1）+3}{2x+1}$]=$\frac{1}{4}$[（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$-4]，从而求函数的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{（2x+1）^{2}-4（2x+1）+3}{2x+1}$]
=$\frac{1}{4}$[（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$-4]，
∵（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$≥2$\sqrt{3}$或（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$≤$-2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{4}$[（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$-4]≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1或$\frac{1}{4}$[（2x+1）+$\frac{3}{2x+1}$-4]≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
故函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞）；
∵x∈（0，+∞），∴2x+1∈（1，+∞），
∴函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞）；
∵x∈（1，+∞），∴2x+1∈（3，+∞），
∴函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是（0，+∞）；
故答案为：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞），[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，+∞），（0，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法及基本不等式的应用，属于中档题．