Question

13．求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}-x+2}$的值域．

Answer 1

分析 可将原函数整理成关于x的方程的形式：（y-1）x²+（2-y）x+2y-3=0，方程有解，可讨论y=1和y≠1：y=1时，容易判断出满足方程有解；而y≠1时，方程为一元二次方程，方程有解，便有△≥0，这样解不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：由原函数得：yx²-yx+2y=x²-2x+3，整理得：
（y-1）x²+（2-y）x+2y-3=0，看成关于x的方程，方程有解；
①若y=1，则x-1=0，满足方程有解；
②若y≠1，则△=（2-y）²-4（y-1）（2y-3）≥0；
解得$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}≤y≤\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$；
∴原函数的值域为：[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}，\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．

点评 考查函数值域的概念，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数的值域求法：整理成关于x的方程，根据方程有解求，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．