Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

Answer 1

（ I）设BC=a，则AB=2a，BB₁=a，
所以VABCD-A1B1C1D1=2a×a×a=2a3---------（2分）
因为V2=

1

3

S△CQR×PC=

1

3

×

1

2

×2a×a×a=

1

3

a3--------------------------（4分）V1=VABCD-A1B1C1D1-V2=2a3-

1

3

a3=

5

3

a3----------------------（5分）
所以

V1

V2

=

5 3 a3

1 3 a3

=5------------（6分）
（II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，
因为PC⊥面CQR，QR?面CQR，
所以PC⊥QR．
因为PC∩CH=C，
所以QR⊥面PCH，
又因为PH?面PCH，
所以QR⊥PH，
所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）
而CH•QR=CQ•CR，CH×

5

a=a×2a，CH=

2a

5

所以tan∠PHC=

a

2a 5

=

5

2

----------------------------------------------（12分）