Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（

π

4

）=1；
（3）当x∈[0，

π

4

]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中的关系式和已知的函数值，分别给x₁和x₂三组值，必须与0以及

π

4

有关，列出三个方程构成一个方程组，对其进行化简变形，再利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式进行化简，求出函数的解析式；
（Ⅱ）由x的范围和正弦函数的性质求出sin（2x+

π

4

）的范围，根据a与1的大小进行分类求解，去掉绝对值利用平方差公式进行化简求解，最后要把结果并在一起．

解答：解：（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，
分别令

x1=0 x2=x

；

x1= π 4 +x x2= π 4

；

x1= π 4 x2= π 4 +x

得

f(x)+f(-x)=2cos2x+4asin2x① f( π 2 +x)+f(x)=2a② f( π 2 +x)+f(-x)=2cos( π 2 +2x)+4asin2( π 4 +x)③

由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（

π

2

+2x）+4a（

1-cos2x

2

）-4a（

1-cos2( π 4 +x)

2

）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，则

π

4

≤2x≤

3π

4

，∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）当a＜1时，-2≤a+

2

[

2

2

（1-a）]≤f（x）≤a+

2

（1-a）≤2．
即1-

2

≤（1-

2

）a≤2-

2

，解得-

2

≤a≤1，
故a的取值范围[-

2

，1）．
（2）当a≥1时，-2≤a+

2

（1-a）≤f（x）≤1．即-2-

2

≤（1-

2

）a≤1-

2

，
解得1≤a≤4+3

2

．
综上，满足条件a的取值范围[-

2

，4+3

2

]．

点评：本题是有关三角函数的较难的综合题，求函数解析式时根据题意给两个变量适当的值，列出有关f（x）的几个方程，通过观察进行化简求出解析式，还利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式；求解绝对值不等式时需要对参数进行分类讨论，利用正弦函数的性质求出正弦值的范围，从而列出关于a的不等式进行求解，考查了分析问题和解决问题的能力．