Question

（2009•大连二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E、F分别为线段AB、D₁C的中点．
（I）求证：EF∥平面A₁D；
（II）求V E-ADD1A1：VE-CDD1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DD₁的中点G，连结FG、AG，证明四边形AEFG为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面A₁D；
（II）通过体积公式直接求V E-ADD1A1与VE-CDD1的体积然后求解比值．

解答：证明：（Ⅰ）取DD₁的中点G，连结FG、AG，
依题意可知：GF是△CDD₁的中位线，
则  GF∥

1

2

DC且GF=

1

2

DC，
AE∥

1

2

DC 且AE=

1

2

DC，
所以GF∥AE，且GF=AE，即四边形AEFG为平行四边形，…（3分）
则EF∥AG，又AG?平面AD₁，EF?平面AD₁，
所以EF∥平面AD₁．…（6分）
（Ⅱ）解：V E-ADD1A1=

1

3

SADD1A1×AE=

1

3

SABCD×AE=

1

3

×1×1×1=

1

3

．
VE-CDD1=

1

3

SCDD1×AD=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

．
V E-ADD1A1：VE-CDD1=1
∴V E-ADD1A1：VE-CDD1的值为1．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体是体积的求法，考查计算能力．