Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过左焦点的最短弦长为3，离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，轴，过的另一直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.

（2）首先根据题意得到的横坐标，代入椭圆标准方程得到，根据和点的坐标求出直线的方程，从而得到点的坐标，分类讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据得到，的横坐标关系，再根据根系关系即可求出直线的方程.

（1）由题知：，解得

所以椭圆的标准方程为.

（2）

由已知可得，，代入得，

所以.

，所以：.

令，的，所以.

①当直线的斜率不存在时，的方程为，

，不符合条件舍去.

②直线的斜率存在时，设直线的方程为.

代入椭圆方程得，

设，，则有①，②，

因为，所以，

由，

所以，所以，所以，

代入①②，解得，，

所以直线的方程为或.