Question

【题目】已知函数.

（1）证明：当时，函数有唯一的极值点；

（2）设为正整数，若不等式在内恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导并判断其单调性，结合零点存在性定理，分别求出使和的的取值范围，从而使命题得证；

（2）当时，不等式恒成立等价于对恒成立，令，得，又因为为正整数，所以或2，当时，不等式对恒成立，即对恒成立，设，对函数进行求导，判断其单调性并求在上的最小值，只需求得即可求得的最大值2.

证明：（1）因为函数的定义域为，

设，则.

①当时，因为，所以在内单调递增，又因为，

，

所以存在，使，对于，都有，对于，都有.

②当时，.

综上可得，，当时，，当.

因此，当时，函数有唯一的极值点.

（2）当时，不等式恒成立等价于

对恒成立，

令，得，又因为为正整数，所以或2，

当时，不等式对恒成立，

即对恒成立，

设，则.

设，则，因为当时，，

所以函数在上单调递增，又因为，

所以当时，，即.

令，得，因为，所以当时，，

当时，，所以，

又因为，所以，因此，当时，恒成立.

也就是说当时，不等式在内恒成立.

故的最大值为2.