Question

【题目】如图，在矩形中，，，M为上的一点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置，且平面平面.连接，，点N为的中点，且平面.

（1）求线段的长；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】

（1）令平面与的交点为E，证明平面，得到四边形为平行四边形，得到长度.

（2）以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量，为平面的一个法向量，计算夹角得到答案.

（1）令平面与的交点为E，因为平面，

平面平面，所以.

在矩形中，，且平面，平面，

故平面.

又平面平面，所以，所以四边形为平行四边形，

且点N为的中点，点E为的中点，故.

（2）由题易得，所以，即.

又平面平面，所以平面，

以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

所以，.

设平面的法向量，则，即，

可取.

易得为平面的一个法向量.

因为.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.