Question

【题目】已知数列、、满足，．

（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（2）若恰好是一个等差数列的前项和，求证：数列是等差数列；

（3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；

（2）设是公差为的等差数列的前项和，推导出，由推导出，进而可证得结论成立；

（3）利用数列是等差数列结合推导出，再结合数列是等比数列，推导出，由数列是等差数列得出，推导出，并将代入化简得，从而可证明出数列是等差数列.

（1）设等比数列的公比为，则，

当时，，数列不是等比数列；

当时，因为，所以，所以数列是等比数列；

（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为，

因为，所以，

两式相减得，

因为，

所以，

所以数列是等差数列；

（3）因为数列是等差数列，所以，

又因为，所以，

即 ，则，

又因为数列是等比数列，所以，则，

即，

因为数列各项均为正数，所以，

则，即，

又因为数列是等差数列，所以，

即，化简得，

将代入得，化简得，

所以数列是等差数列．