Question

已知数列{a_n}是公比为q（q≠±1）的等比数列，集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n≥4），从中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样4个数成等比数列共有的组数记为f（n）．
（1）若n=7，则f（n）=

 

；（2）若f（n）=24，则n=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：本题可用分类讨论的方法解决，分公比为q，q²，q²…几种情况讨论，不难发现规律，得出结论．

解答： 解：4个数的等比数列有如下情况：
公比为q的一共有n-3种：（a₁，a₂，a₃，a₄），…，（a_n-3，a_n-2，a_n-1，a_n）；
公比为q²的共有n-6种：（a₁，a₃，a₅，a₇），…，（a_n-6，a_n-4，a_n-2，a_n）；
公比为q³的共有n-9种：（a₁，a₄，a₇，a₁₀），…，（a_n-9，a_n-6，a_n-3，a_n）
…
注意到（a₁，a₂，a₃，a₄）与（a₄，a₃，a₂，a₁）是不同的等比数列（因为公比不一样），
所以上述的反过来也是．
∴当n=7时，共有（4+1）×2=10，
当n=24时，共有（21+18+15+12+9+6+3）×2=188，
故答案为：10，188．

点评：本题主要考查学生归纳法的运用及分类讨论思想的运用能力．