Question

设0≤a≤π，不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0对于x属于一切实数恒成立，则a的取值范围是

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]

．

Answer 1

分析：根据题意，利用二次函数的性质，可将不等式恒成立等价于△≤0，列出关于a的不等式，利用三角函数的二倍角公式和三角函数的性质，求解不等式即可得到a的取值范围．

解答：解：∵不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0对于x属于一切实数恒成立，
∴△=（-8sina）²-4×8×cos2a≤0，
∴64sin²a-32cos2a≤0，即2sin²a-cos2a≤0，
∴1-2cos2a≤0，即cos2a≥

1

2

，
∴-

π

3

+2kπ≤2a≤

π

3

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤a≤

π

6

+kπ，
又∵0≤a≤π，
∴0≤a≤

π

6

或

5π

6

≤a≤π，
∴a的取值范围是[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．
故答案为：[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．对于二次函数问题特别要注意对开口方向和对称轴以及判别式的研究．本题解题过程中考查了三角函数的求解．属于中档题．