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    已知函数f(x)=x+
    tx
    (t＞0)    和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．
    （1）求证：x1，x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根；
    （2）设|MN|=g（t），求函数g（t）；
    （3）在（2）的条件下，若在区间[2，16]内总存在m+1个实数a1，a2，…，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求实数m的最大值．
    分析：（1）用导数值与切线的斜率相等，求出切点横坐标的关系，判断是方程x2+2tx-t=0的两根即可；
    （2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可；
    （3）利用函数的单调性转化为恒成立问题．
    解答：解：（1）函数f(x)=x+
    t
    x
    (t＞0)    可得f′（x）=1-
    t
    x2
    ，切点（x，x+
    t
    x
    ），所以
    x+
    t
    x
    x-1
    =1-
    t
    x2
    ，
    可得x2+2tx-t=0，显然方程的两个根就是切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标，
    所以x1，x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根；
    （2）因为M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
    又f′（x）=1-
    t
    x2
    ，∴切线PM的方程为：y-（x1+
    t
    x1
    ）=（1-
    t
    x
    2
    1
    ）（x-x1）．
    又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-（x1+
    t
    x1
    ）=（1-
    t
    x
    2
    1
    ）（1-x1）．
    即x12+2tx1-t=0．（1）
    同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
    由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，
    ∴
    x1+x2=-2t
    x1•x2=-t
       （*）
    |MN|=
    		(x1-x2)2+(x1+
    t
    x1
     -x2-
    t
    x2
     )2

    =
    		(x1-x2)2[1+(1-
    t
    x1x2
     )2]

    =
    		[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
    t
    x1x2
     )2]

    把（*）式代入，得|MN|=2
    		5t2+5t
    ，
    因此，函数g（t）的表达式为g（t）=2
    		5t2+5t
    （t＞0）
    （3）易知g（t）在区间[2，16]上为增函数，
    ∴g（2）≤g（ai）（i=1，2，m+1）．
    则m•g（2）≤g（a1）+g（a2）+…+g（am）．
    ∵g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）对一切正整数n成立，
    ∴不等式m•g（2）＜g（16）对一切的正整数n恒成立m2
    		5×4+5×2
    ＜2
    		5×162+5×16
    ，
    即m＜
    85×16
    30
    =
    80
    3
    对一切的正整数n恒成立
    由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2=am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
    因此，m的最大值为6．
    点评：本题第一问比较基础，二三问比较复杂，考切线问题，和数列问题，又渗透了恒成立思想，此题比较新，虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路，有突破有创新，仔细审题是解题的关键．
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    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
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