Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，G为上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD与BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大小；
（III）求点D到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析：（I）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出AD与BG的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出AD与BG所成角的余弦值；
（II）分别求出平面B₁EF的法向量和平面BFB₁的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角B-FB₁-E的大小；
（III）由（II）中结论，平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），又由

DB1

=（a，a，a）．代入d=

| DB1 • m |

| m |

，即可求出点D到平面B₁EF的距离．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，

a

2

，0），F（

a

2

，a，0），B₁（a，a，a），G（

a

2

，

a

2

，a），
（I）∵

AD

=（-a，0，0），

BG

=（-

a

2

，-

a

2

，a），
令AD与BG所成角为θ，
∴cosθ=

AD • BG

| AD |•| BG |

=

6

6

．
∴AD与BG所成角的余弦值为

6

6

．
（II）设平面B₁EF的法向量为

m

=（x，y，z）．
∵

EF

=（-

a

2

，

a

2

，0），

EB1

=（0，

a

2

，0）
则

m

•

EF

=0，

m

•

EB1

=0．
∴

- a 2 x+ a 2 y=0 a 2 y+az=0

取y=2，则x=2，z=-1．
∴可取

m

=（2，2，-1），
显然DC⊥平面BFB₁．∴可取平面BFB₁的法向量

n

=（0，1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴所求二面角的大小为arccos

2

3

．
（III）由（II）已求平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），又

DB1

=（a，a，a）．
∴点D到平面B₁EF的距离d=

| DB1 • m |

| m |

=a．
∴点D到平面B₁EF的距离为a．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，点到平面之间的距离，其中（I）的关键是求出AD与BG的方向向量，（II）的关键是求出平面B₁EF的法向量和平面BFB₁的法向量，（III）的关键是求出平面B₁EF的法向量

m

=（2，2，-1），及D与平面B₁EF任一点连线的方向向量，如

DB1

=（a，a，a）．