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    【题目】已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.

    （1）写出的值；

    （2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

    【答案】（1）13

    （2）

    【解析】

    试题（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明

    试题解析：（1）．

    （2）当时，（）．

    下面用数学归纳法证明：

    ①当时，，结论成立；

    ②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

    1）若，则，此时有

    ，结论成立；

    2）若，则，此时有

    ，结论成立；

    3）若，则，此时有

    ，结论成立；

    4）若，则，此时有

    ，结论成立；

    5）若，则，此时有

    ，结论成立；

    6）若，则，此时有

    ，结论成立．

    综上所述，结论对满足的自然数均成立．

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    【题目】在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

    （1）求圆C1和C2的极坐标方程；

    （2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP||OQ|的最大值．

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    【题目】

    袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．

    （Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；

    （Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．

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    【题目】已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）

    A.可以预测，当时，B.

    C.变量之间呈负相关关系D.该回归直线必过点

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    【题目】“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：），经统计，树苗的高度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于的为优质树苗.

    (1)求图中的值；

    (2)已知所抽取的这120株树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：

    试验区

    试验区

    合计

    优质树苗

    20

    非优质树苗

    60

    合计

    将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由；

    (3)通过用分层抽样方法从试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.

    附：参考公式与参考数据：

    其中

    0.010

    0.005

    0.001

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：

    规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.

    （1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；

    （2）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.

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    【题目】有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.


    第一排

    明文字符

    A

    B

    C

    D

    密码字符

    11

    12

    13

    14


    第二排

    明文字符

    E

    F

    G

    H

    密码字符

    21

    22

    23

    24


    第三排

    明文字符

    M

    N

    P

    Q

    密码字符

    1

    2

    3

    4

    设随机变量表示密码中不同数字的个数．

    (Ⅰ)求； (Ⅱ)求随机变量的分布列和它的数学期望．

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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

    （1）求曲线C1和C2的极坐标方程；

    （2）若点A在曲线C1上，点B在曲线C2上，且∠AOB，求|OA||OB|的最大值．

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    【题目】对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列.

    （1）若{an}的前n项和Sn＝3n+2，试判断{an}是否是P数列，并说明理由；

    （2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；

    （3）设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{an}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{an}不是P数列”.

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