Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）和圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点为P，F₁和A为双曲线的左焦点和右顶点，连接PF₁，过点A作AM⊥PF₁于点M，若$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=3$\overrightarrow{MP}$，则△AF₁M的面积为$\frac{27}{4}$，则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{12}$=1
• B． $\frac{x^2}{2}$-$\frac{y^2}{6}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{3}$=1
• D． $\frac{x^2}{2}$-y²=1

Answer 1

分析 联立椭圆方程和圆的方程，解得P的坐标，由向量共线的坐标表示，可得M的坐标，再由三角形的面积公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1和圆x²+y²=a²+b²，
可得P（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$），
F₁（-c，0），若$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=3$\overrightarrow{MP}$，
即有x_M=$\frac{-c+\frac{3a}{c}\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{4}$，y_M=$\frac{3{b}^{2}}{4c}$，
AM⊥PF₁，即有k_AM•${k}_{P{F}_{1}}$=-1，
$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}-a}$•$\frac{{b}^{2}}{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}$=-1，
化简可得，$\frac{3{b}^{2}}{{c}^{2}+4ac-3a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}{{b}^{2}}$①
a²+b²=c²②
$\frac{1}{2}$（a+c）•$\frac{3{b}^{2}}{4c}$=$\frac{27}{4}$③
由①②③解得，a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查向量的共线的坐标表示和直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．