Question

10．（1）函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）；
（4）若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中所有正确命题的序号是（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=-1，可得函数f（x）的图象过定点（1，-1），即可判断出正误；
（2）令x＞0，则-x＜0，可得f（-x）=-x（-x+1），f（x）=-x（1-x）=x²-x．即可得出f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|，即可判断出正误；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1=log_aa，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}＜a}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（4）令f（x）=2^-x-lnx（x＞0），则函数f（x）在（0，+∞）单调递减，即可判断出．

解答 解：（1）∵f（1）=log_a（2-1）-1=-1，∴函数f（x）的图象过定点（1，-1），因此不正确；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1）=x²+x．令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-x（-x+1），∴f（x）=-x（1-x）=x²-x．因此f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|，故正确；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＞1=log_aa，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}＞a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}＜a}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$，因此a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1），正确；
（4）令f（x）=2^-x-lnx（x＞0），则函数f（x）在（0，+∞）单调递减，若f（x）＞f（-y）（y＜0），则x＜-y，即x+y＜0，因此正确．
其中所有正确命题的序号是（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评 本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．