Question

15．若函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 讨论指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）的单调性，从而确定函数的最值，从而求a．

解答 解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）-f（1）=a²-a=$\frac{1}{4}$a，解得a=0（舍去），或a=$\frac{5}{4}$．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）-f（2）=a-a²=$\frac{1}{4}a$，解得a=0（舍去），或a=$\frac{3}{4}$．
故a的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．