Question

4．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知$tanB=\frac{3}{4}$，bsinC=6．
（Ⅰ）求边长c的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=24，求△ABC的周长l．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得csinB=bsinC=6，又$tanB=\frac{3}{4}$，可解得sinB的值，即可得解．
（Ⅱ）由三角形面积公式可求得a的值，由余弦定理可求b，即可求得△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得 csinB=bsinC=6，
又$tanB=\frac{3}{4}$，可知B为锐角，可得：cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{4}{5}$，
所以$sinB=\frac{3}{5}$，
所以c=10．
（Ⅱ）由$S=\frac{1}{2}absinC=24$，得a=8，
由余弦定理 b²=a²+c²-2accosB=36，
所以b=6．
故△ABC的周长l=a+b+c=24．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．