Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*）关于下列命题：
①若a₁=$\sqrt{3}$，则a₃=0；
②对任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），均有a_n+3=a_n（n∈N^*）
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，α、β、γ∈（0，2π），则α、β、γ成等差数列；
④当$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$时，S_3n＜0
其中正确的命题有（　　）

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3 个
• D． 4 个

Answer 1

分析 ①由a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₂=$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=0，即可判断出正误；
②对任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，可得a_n+3=a_n，（n∈N^*），即可判断出正误；
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，则a₂=tanβ=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$=tan$（α+\frac{π}{3}）$，a₃=$tan（α+\frac{2π}{3}）$，由α、β、γ∈（0，2π），可得$β=α+\frac{π}{3}$，或β=$α+\frac{π}{3}$+π，$γ=α+\frac{2π}{3}$或γ=$α+\frac{2π}{3}$+π，即可判断出正误；
④当$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$时，由②可知：只要计算S₃＜0即可，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{2}}$=$\frac{3{a}_{1}（3-{a}_{1}^{2}）}{1-3{a}_{1}^{2}}$＜0．

解答 解：①∵a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），∴a₂=$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）}$=0，因此正确；
②对任意的a₁（a₁≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$），a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，a_n+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$
=a_n，均有a_n+3=a_n（n∈N^*），正确；
③若a₁=tanα，a₂=tanβ，a₃=tanγ，则a₂=tanβ=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$=tan$（α+\frac{π}{3}）$，a₃=tanγ=$\frac{tan（α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tan（α+\frac{π}{3}）}$=$tan（α+\frac{2π}{3}）$，∵α、β、γ∈（0，2π），∴$β=α+\frac{π}{3}$，或β=$α+\frac{π}{3}$+π，$γ=α+\frac{2π}{3}$或γ=$α+\frac{2π}{3}$+π，∴α、β、γ不一定成等差数列，故不正确；
④当$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a₁＜$\sqrt{3}$时，由②可知：只要计算S₃＜0即可，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{2}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{1}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{1}}$=$\frac{9{a}_{1}-3{a}_{1}^{3}}{1-3{a}_{1}^{2}}$=$\frac{3{a}_{1}（3-{a}_{1}^{2}）}{1-3{a}_{1}^{2}}$＜0．∴S_3n＜0，因此正确．
其中正确的命题有①②④．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的性质、两角和差的正切公式、数列的周期性，考查了类比推理能力与计算能力，属于中档题．