Question

1．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，D为线段BC上一点，满足b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$=bC$\overrightarrow{AD}$，a²-b²=bc，△ACD与△ABD面积之比为1：2．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦及余弦定理得：$cosB=\frac{sinB+sinC}{2sinA}$，整理得A=2B，由$b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}=bc\overrightarrow{AD}$，可得AD为角A的平分线，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，解得$c=2b，a=\sqrt{3}b$，利用正弦定理可求cosB的值，即可解得A的值．
（2）由$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{b}=\overrightarrow{AD}$及$A=\frac{π}{3}$可解得AD的值，由$AD=BD=\sqrt{3}，CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AC=\frac{3}{2}$，即可利用三角形面积公式求值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由a²-b²=bc得$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{bc+{c^2}}}{2ac}$，
由正弦及余弦定理得：$cosB=\frac{sinB+sinC}{2sinA}$，…（2分）⇒2sinAcosB=sinB+sin（A+B），
整理得sin（A-B）=sinB，即A=2B，…（4分）
由$b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}=bc\overrightarrow{AD}$得$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{b}=\overrightarrow{AD}$，即AD为角A的平分线，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，
所以$c=2b，a=\sqrt{3}b$，…（6分）
所以$sinA=\sqrt{3}sinB⇒sin2B=\sqrt{3}sinB⇒cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$B=\frac{π}{6}，A=\frac{π}{3}$．  …（8分）
（2）由$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{c}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{b}=\overrightarrow{AD}$及$A=\frac{π}{3}$得：$AD=\sqrt{3}$…（10分）
所以$AD=BD=\sqrt{3}，CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AC=\frac{3}{2}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$． …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，熟练掌握，灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．