Question

5．设f（x）=x+tanA•tanB-1，其中A，B是△ABC的内角．
（1）若[f（1）-1]cosA•cosB=$\frac{1}{2}$，且A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{2}$．求c的长；
（2）若函数f（x）在（0，1）内有零点，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用条件，确定A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$，即可求c的长；
（2）若函数f（x）在（0，1）内有零点，可得f（0（f（1）＜0，A+B=$\frac{π}{2}$，即可判断△ABC的形状．

解答 解：（1）∵f（x）=x+tanA•tanB-1，[f（1）-1]cosA•cosB=$\frac{1}{2}$，
∴sinA•sinB=$\frac{1}{2}$，
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，
∵a=$\sqrt{2}$，
∴c=2；
（2）∵函数f（x）在（0，1）内有零点，
∴f（0（f（1）＜0，
∴（tanA•tanB-1）•tanA•tanB=0，
∴tanA•tanB-1=0，
∴cos（A+B）=0，
∴A+B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查三角函数的化简，考查函数的零点，考查三角形形状的判断，属于中档题．