Question

8．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4^x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义，直接判断求解即可．
（2）由题意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以当x∈[1，2]时，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其对称轴方程为$x=\frac{m}{2}$，通过①当$\frac{m}{2}＞1$，②当$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，③当$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，求出函数的值域，然后推出所求m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=4^x是“（a，b）型函数”…（2分）
因为由f（a+x）•f（a-x）=b，得16^a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16…（5分）
（2）由题意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以当x∈[1，2]时，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其对称轴方程为$x=\frac{m}{2}$，
①当$\frac{m}{2}＞1$，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，则g（x）在[0，2]上的值域为$[2，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，2]=[\frac{4}{m+1}，m+1]$，由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1≤3}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，此时无解…（11分）
②当$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，即1≤m≤2时，g（x）的值域为$[g（\frac{m}{2}），g（0）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]$，所以则g（x）在[0，2]上的值域为$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，则由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\\{m+1≤3}\end{array}}\right.$且$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，
解得1≤m≤2…（13分）
③当$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜m≤1时，g（x）的值域为$[g（\frac{m}{2}），g（1）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]$，则g（x）在[0，2]上的值域为$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]∪[2，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$=$[m+1-\frac{m^2}{4}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\end{array}}\right.$，解得$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤1$．
综上所述，所求m的取值范围是$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤2$…（16分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用．