【题目】已知,
∈[1,+∞).
(1)当时,判断函数
的单调性并证明;
(2)当时,求函数
的最小值;
(3)若对任意∈[1,+∞),
>0恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)当时,f(x)=x+
+2,
任取1≤x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+=
,
∵1≤x1<x2,∴x1x2>1,∴2x1x2-1>0.
又x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,
(2)由f(x)的单调性可知,在[1,+∞)上的最小值为f(1)=.
(3)在区间[1,+∞)上,f(x)=>0恒成立,
则.
等价于a大于函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.
只需求函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.
φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,φ(x)取得最大值,为φ(1)=-3.
∴a>-3,故实数a的取值范围是(-3,+∞).
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【题目】已知圆:
过椭圆
:
的短轴端点,
分别是圆
与椭圆
上任意两点,且线段
长度的最大值为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作圆
的一条切线交椭圆
于
两点,求
的面积的最大值.
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【题目】某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5) (注:收益=销售额-投放).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l: (t为参数)与曲线C相交于M,N两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
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【题目】如图,在矩形中,已知
,点
、
分别在
、
上,且
,将四边形
沿
折起,使点
在平面
上的射影
在直线
上.
(I)求证: ;
(II)求点到平面
的距离;
(III)求直线与平面
所成的正弦值.
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【题目】已知椭圆的中心为原点
,离心率
,其中一个焦点的坐标为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当点在椭圆
上运动时,设动点
的运动轨迹为
若点
满足:
其中
是
上的点.直线
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,说明理由.
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