Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1时，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1时，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．
而S₂=a+a²＞a，S₂∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；

（ii）当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，，，∴S_n≥a，
又aⁿ＞0，∴
对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足，解得．
综上所述，a的取值范围是．
分析：（Ⅰ）解含参数的不等式，把不等式x²+a≤（a+1）x化成标准形式，因式分解求得相应方程的根，比较根的大小，从而确定不等式的解集；（Ⅱ）求a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对公比a是否为1讨论，求出S_n，根据对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，解不等式，求得a的取值范围．
点评：解含参数的不等式，根的大小是确定分类标准的一种方法，等比数列求和，一定对公比q是否为零进行讨论，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．