Question

【题目】在中，角、、所对的边分别为、、，，当角取最大值时，的周长为，则__________．

Answer 1

【答案】3

【解析】分析：根据题意由正弦定理得出cosA＜0，A为钝角，cosAcosC≠0，由两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得出tanA=﹣3tanC，且tanC＞0；由已知及基本不等式求出B取得最大值，可得C=B=，可求A，利用余弦定理可求a=b，结合已知求得b的值，进而可求a的值．

详解：△ABC中，sinB=cos（B+C）sinC，

∴b=cos（B+C）c，即cosA=﹣＜0，∴A为钝角，

∴cosAcosC≠0；

由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=﹣2cosAsinC，

可得tanA=﹣3tanC，且tanC＞0，

=

当且仅当tanC= 时取等号；

∴B取得最大值时，c=b=1，此时C=B=．

∴A=，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a=b，

∵三角形的周长为a+b+c=b +b+b=2．解得：b=，可得：a=b =3．

故答案为：3