【题目】已知函数.
(1)若在
处的切线方程为
,求实数
、
的值;
(2)设函数,
(其中
为自然对数的底数).
①当时,求
的最大值;
②若是单调递减函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)①
;②
.
【解析】
(1)由题意得出,可求出
的值,计算出
的值,再将点
的坐标代入直线
可求出实数
的值;
(2)①将代入函数
,求出其导数
,构造函数
,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,可得出
,进而判断出函数
在区间
上的单调性,由此求出答案;
②由题意得出,对
分
、
、
三种情况讨论,结合
在
上恒成立,可求出实数
的取值范围.
(1),
,
由题意可得,解得
,所以,
,
,
将点的坐标代入直线
的方程得
,解得
.
因此,,
;
(2)①当时,
,则
,
,
令,其中
,则
,
所以,函数在区间
上单调递增,则
,则有
.
因此,函数在区间
上的最大值为
;
②由于函数在区间
上单调递增,所以
,
即,则
.
(i)当时,
,
,
,
令,则
,
即函数在区间
上单调递减,所以,
,解得
;
(ii)当时,
,
,
由(i)知,,又因为函数
在区间
上是单调递减函数,
所以,对任意的
恒成立,
即对任意的
恒成立,
即,
.
令,
.
,
构造函数,则
,
所以,函数在区间
上单调递减,故
,即
.
所以,,
即函数在区间
上单调递减,
所以,,
,
又,
;
(iii)当时,因为
,
,
所以,函数在区间
上单调递增,
又,
则存在唯一的,使得
,
所以,函数在区间
上不单调.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】已知函数,
.
(1)存在,对任意
,有不等式
成立,求实数
的取值范围;
(2)如果存在、
,使得
成立,求满足条件的最大整数
;
(3)对任意,存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。(参考公式: 参考数据:
)
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在极坐标(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,
轴正半轴为极轴)中,圆
的方程为
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线
交于点
,
,若点
的坐标为
,求
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为
(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若点P的极坐标为,
,求
的值.
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①的周期为
;
②在
上单调递增;
③函数在
上有
个零点;
④函数的最小值为
.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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【题目】谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______.
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