Question

【题目】在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据分析出点在直线上，当的面积取得最小值时，线段的长度为点到直线的距离，即可求得面积关系．

先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，

即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB.

证明：直线l在平面内的射影为直线OA，

不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线，

所以OB⊥平面PAO，平面PAO，

所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理.

如图所示，取的中点，

正方体中：，在平面内的射影为，

由三垂线定理可得：，

在平面内的射影为，

由三垂线定理可得：，与是平面内两条相交直线，

所以平面，

∴当点在直线上时，，

设，则，

当的面积取最小值时，

线段的长度为点到直线的距离，

∴线段长度的最小值为，

.

故选：D.