Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数的零点；

（2）若不存在相异实数、，使得成立．求实数的取值范围；

（3）若对任意实数，总存在实数、，使得成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）零点分别是：、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）解方程即可得出函数的零点；

（2）将函数的解析式表示为分段函数的形式，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，结合题中结论可求得实数的取值范围；

（3）由题意可得，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，求得函数在区间上的最大值和最小值，进而可得出，由此可求得实数的最大值.

（1）当时，，令，可得，

所以，或，解得或，

所以，当时，函数的零点分别为、、；

（2）.

①当时，函数在上递减，符合题意；

②当时，函数在上递增，符合题意；

③当时，函数在上递增，在上递减，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（3）由题意可得.

①当时，函数在上递减，

则，，

；

②当时，函数在上递增，

，，

；

③当时，函数在上递增，在上递减，

，.

当时，；

当时，.

综上所述，，

因此，实数的最大值为.