Question

【题目】已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．

（1）求抛物线和双曲线的标准方程；

（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线E的标准方程为，双曲线C的标准方程为（2）

【解析】

（1）由双曲线过点，且其离心率为．可得，，，联立解得：，，即可得出双曲线的标准方程．可得，解得．可得抛物线的标准方程．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立化为：．设，，，．利用根与系数的关系可得．设的半径为，．过点作，垂足为．在中，，可得范围，及其范围，即可得出结论．

（1）由双曲线过点，且其离心率为．

，，，

联立解得：，．

双曲线的标准方程为：．

由，可得，解得．

抛物线的标准方程为：．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．

的方程为：．

可得，．．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

由题意可得：．联立，化为：．

设，，，．则，．

，

．

设的半径为，则．

过点作，垂足为．

在中，．

，则．

综上可得：的最大值为．