【题目】已知如图,菱形的边长为2,对角线
,现将
沿着对角线
翻折至点
.
(1)求证:;
(2)若,且点E为线段
的中点,求
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点O,连接
和
,在菱形
中,易得
,
,
,再利用线面垂直的判定定理证明.
(2)根据平面几何知识,得到为等边三角形,再由(1)得平面
平面
,则
平面
.作
,以点O为坐标原点,
、
、
分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
,先求得平面
的一个法向量为
,
的坐标,然后代入公式
.
(1)如图所示:
取的中点O,连接
和
,
在菱形中,
,
,
,
所以面
,
又面
,
所以.
(2)由于菱形的边长为2,
,取
的中点F,
根据余弦定理得,
因为,
所以,
所以,
所以.
又,则
为等边三角形,
由(1)得平面平面
,则
平面
.
作,以点O为坐标原点,
、
、
分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
设面的一个法向量为
,
则,则
,
令,则
,
所以,
,
设与平面
的夹角为θ,
则.
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【题目】(本小题满分10分)选修4—4,坐标系与参数方程
已知曲线,直线
:
(
为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线
的普通方程;
(II)过曲线上任意一点
作与
夹角为
的直线,交
于点
,
的最大值与最小值.
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【题目】某中学为丰富教职工生活,五一节举办教职工趣味投篮比赛,有两个定点投篮位置,在
点投中一球得2分,在
点投中一球得3分.规则是:每人投篮三次按先
再
再
的顺序各投篮一次,教师甲在
和
点投中的概率分别是
和
,且在
两点投中与否相互独立.
(1)若教师甲投篮三次,求教师甲投篮得分的分布列;
(2)若教师乙与教师甲在点投中的概率相同,两人按规则各投三次,求甲胜乙的概率.
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【题目】齐王有上等,中等,下等马各一匹;田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知是抛物线
的焦点,恰好又是双曲线
的右焦点,双曲线
过点
,且其离心率为
.
(1)求抛物线和双曲线
的标准方程;
(2)已知直线过点
,且与抛物线
交于
,
两点,以
为直径作圆
,设圆
与
轴交于点
,
,求
的最大值.
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