Question

【题目】已知函数有且只有一个零点，其中.

（1）求的值；

（2）若对任意的，有成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件得，列方程即可求出结果；

（2）由（1）知，先分析，当时，由知不合题意；当时，构造函数，利用导数分和两种情况讨论，即可求出结果.

解：（1）的定义域为，.

由，得.

∵当时，；当时，，

∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，

∴在处取得最大值，由题意知，解得；

（2）由（1）知，

当时，取，，知不合题意；

当时，设，则，

令，得，，

①若，即时，在上恒成立，

所以在上是增函数，

从而总有，即在上恒成立；

②若，即时，对于，，

所以在上单调递减，

于是，当取时，，即不成立，

故不合题意.

综上，的最大值为.