Question

（1）直线l与抛物线y²=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，已知A（8，8），则线段AB的中点到准线的距离为

25

4

（2）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，-5），点P（x，-1，3）在平面ABC内，则x=

11

．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而可得直线AB方程，把B点代入可求得B点坐标，进而根据抛物线的定义求得答案．
（2）利用共面定理解答，即若空间中四点P，A，B，C，满足 设

PA

=x

AB

+y

AC

，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解．

解答：解：（1）由y²=8x知2p=8，p=4．
由AB直线过焦点F和点（8，8），∴直线AB斜率为

8-0

8-2

=

4

3

∴直线AB方程为y=

4

3

（x-2），
由

y= 4 3 (x-2) y2=8x

解得B点坐标为（

1

2

，-2）
∴线段AB中点到准线的距离为

x1+x2

2

+p=

8+ 1 2

2

+2=

25

4

．
故答案为

25

4

（2）由共面向量定理，可设

PA

=y

AB

+z

AC

，其中y，z∈R，于是代入点的坐标有：
（4-x，2，0）=y（-2，2，-2）+z（-1，6，-8），
得方程组：

4-x=-2y-z 2=2y+6z 0=-2y-8z

解得

x=11 y=4 z=-1

故答案为11

点评：本题第一问主要考查了直线与抛物线的关系，利用抛物线的定义来解决抛物线的焦点弦问题．第二问考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容．