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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为(  )
分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法得到
y1-y2
x1-x2
•(y1+y2)=2p,因为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以
y1-y2
x1-x2
=1,AB方程为:y=x-
p
2
,故y1+y2=2p,AB中点横坐标为
3p
2
,再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,能求出p.
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12=2px1,①
y22=2px2,②
①-②,得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),
y1-y2
x1-x2
•(y1+y2)=2p,
∵过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,
y1-y2
x1-x2
=1,AB方程为:y=x-
p
2

y1+y2
2
为AB中点纵坐标,
∴y1+y2=2p,
y1=x1-
p
2
y2=x2-
p
2

∴y1+y2=x1+x2-p,
∴x1+x2=y1+y2+p,
x1+x2
2
=
(y1+y2+p)
2
=
3p
2

∴AB中点横坐标为
3p
2

∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,
p
2
+
3p
2
=4
,解得p=2.
故选B.
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点. A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M(O为坐标原点).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(Ⅲ)以M为圆心,4为半径作圆M,点P(m,0)是x轴上的一个动点,试讨论直线AP与圆M的位置关系.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为抛物线C的焦点,A为抛物线C上的动点,过A作抛物线准线l的垂线,垂足为Q.
(1)若点P(0,4)与点F的连线恰好过点A,且∠PQF=90°,求抛物线方程;
(2)设点M(m,0)在x轴上,若要使∠MAF总为锐角,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=
16(1-kb)k2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.
(I)若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(II)问是否存在定点M,不论直线l绕点M如何转动,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若
MA
MB
=0,则k=(  )

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