Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞3），点M在侧棱BB₁上移动，并且M到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC₁B₁所成的角为α．
（1）若α在区间[

π

6

，

π

4

]上变化，求x的变化范围； 
（2）若α为

π

6

，求AM与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设BC的中点为D，连接AD、DM，根据题意BB₁⊥平面ABC，由线面垂直的判定与性质证出AD⊥平面BB₁CC₁，从而得到∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角．然后在Rt△ADM中，设BM长为x，利用三角函数的定义建立tanα关于x的函数关系式，结合α∈[

π

6

，

π

4

]解关于x的不等式，即可得到点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）由（1）的结论算出BM=

2

．然后采用向量法：将

AM

化成

AB

+

BM

，求出

AM

•

BC

并利用夹角公式算出

AM

、

BC

夹角的余弦值，最后结合异面直线所成角的范围即可求出AM与BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）设BC的中点为D，连接AD、DM，则
∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴AD⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB₁ 
∵BB₁、BC是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴AD⊥平面BB₁CC₁．
因此，∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角α．
∵点M到平面ABC的距离为BM，设BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=

AD

DM

．
由AD=

3

2

，DM=

BD2+BM2

=

1+4x2

2

，得tanα=

3

1+4x2

．
∵α∈[

π

6

，

π

4

]时，tanα∈[

3

3

，1]
∴

3

3

≤

3

1+4x2

≤1，化简得3≤1+4x²≤9，解得

1

2

≤x²≤2．
因此，点M到平面ABC的距离x的取值范围是[

2

2

，

2

]；
（2）当α=

π

6

时，由（1）得BM=

2

，
故可得DM=

3

2

，AM=

AD2+DM2

=

3

．
设

AM

与

BC

的夹角为θ．
∵

AM

•

BC

=（

AB

+

BM

）•

BC

=

AB

•

BC

+

BM

•

BC

=1×1×cos120°+0=-

1

2

．
∴cos＜

AM

，

BC

＞=

AM • BC

|AM| • |BC|

=

- 1 2

3 •1

=-

3

6

∵AM与BC所成角θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=

3

6

，即AM与BC所成角的余弦值

3

6

．

点评：本题在特殊三棱柱中求异面直线所成的角，着重考查了直棱柱的性质、线面垂直的判定定理和异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．