Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

AB

=（S_n，

1

4

-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-

1

2

），且满足

AB

∥

CD

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列对任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-

n

2

-1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,数列递推式,平行向量与共线向量

专题：点列、递归数列与数学归纳法,平面向量及应用

分析：（1）由

AB

∥

CD

可得到S_n与a_n之间的递推式，然后利用an=

s1，           n=1 sn-sn-1，n≥2

，求出a_n是一个等比数列．
（2）先假设存在，然后根据题意将问题转化为化简式子a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈后，解关于n的不等式的问题，解出n≥n₀，则存在M≥n₀，否则不存在．
（3）等式左边是一个数列和的问题，将a_n代入后，因为{a_n}是等比数列，因此可采用类似于错位相减法的方法变形、化简．化简后经过整理应该可以求出b_n．

解答： 解：（1）∵向量

AB

=（S_n，

1

4

-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-

1

2

），且满足

AB

∥

CD

，
∴-

1

2

Sn-(

1

4

-an)=0，即S_n=2an-

1

2

①，
易知当n=1时，a1=

1

2

；n≥2时，S_n-1=2an-1-

1

2

②，
由①-②得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以a1=

1

2

为首项，公比为2的等比数列，
∴an=

1

2

×2n-1=2n-2．
（2）由（1）知，an=2n-2，∴a₁a₄a₇…a_3n-2=

1

2

×22×25×…×23n-2=2

n(3n-5)

2

，a₇₈=2⁷⁶，
由a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈得2

n(3n-5)

2

＞276，∴

n(3n-5)

2

＞76，即3n²-5n-152=0，
解得n＜-

19

3

(舍)或n＞8，
∴存在正整数M≥8，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立，且M的最小值为8．
（3）由题意得b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-

n

2

-1 ③
则n≥2时，b₁a_n-1+b₂a_n-2+b₃a_n-3+…+b_n-2a₂+bn-1a1=2n-1-

n-1

2

-1 ④
④式两边同乘以2得b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-2a₃+b_n-1a₂=2ⁿ-（n-1）-2 ⑤
由③-⑤得b_na₁=

n

2

，又a1=

1

2

，所以b_n=n（n≥2），经验证，n=1时代入③式成立，
∴{b_n}的通项公式为b_n=n．

点评：利用an=

s1，           n=1 sn-sn-1，n≥2

，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式；而第（3）问则灵活地借用了“错位相减法”解题策略．