Question

3．已知sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，则sin（4α+$\frac{π}{6}$）的值是-$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，求出cos（4$α+\frac{2π}{3}$）=$\frac{1}{9}$，由此利用诱导公式能求出sin（4α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：∵sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=|$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$|=|$\frac{\sqrt{5}}{9}$|，
∴cos（4$α+\frac{2π}{3}$）=cos²（2$α+\frac{π}{3}$）-sin²（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{9}-\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$，
∴sin（4α+$\frac{π}{6}$）=cos[$\frac{π}{2}$-（4$α+\frac{π}{6}$）]=cos（$\frac{π}{3}-4α$）=cos（4$α-\frac{π}{3}$）
=-cos（4$α+\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{9}$．
故答案为：-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和诱导公式的合理运用．