Question

8．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{7}{6}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$，
（1）当${a_n}≠\frac{2}{3}$时，求证{${a_n}-\frac{2}{3}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$变形可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），利用${a_n}≠\frac{2}{3}$即得结论；
（2）通过（1）及等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）证明：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$，
∴a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
又∵${a_n}≠\frac{2}{3}$，
∴a_n-$\frac{2}{3}$≠0，
∴数列{${a_n}-\frac{2}{3}$}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）解：由${a_1}=\frac{7}{6}$及（1）可知，a_n-$\frac{2}{3}$=（$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．